Fórmula Semi Empírica da Energia de Ligação

Fórmula Semi-Empírica da Energia de Ligação

     Com o passar do tempo e na ausência de uma teoria detalhada para descrever a estrutura nuclear, vários modelos foram desenvolvidos, cada qual correlacionando os dados experimentais de um conjunto mais ou menos limitado de fenômenos nucleares.
     Entre os modelos formulados estão o modelo de gás de Fermi, o modelo uniforme, o modelo de partícula a, o modelo da gota líquida e o modelo nuclear de camadas.
     Com o modelo da gota líquida foi desenvolvida a seguinte fórmula semi-empírica para o cálculo da energia de ligação nuclear:

     E = av A - ac Z ( Z - 1 ) A^-1/3 - as A^2/3 - ar ( A - 2Z )² A^-1 + api A^-1

onde um dos possíveis conjuntos de valores (em MeV) para as constantes av, ac, as, ar e api, obtidos por ajustes de curvas experimentais, é o seguinte.

     av = 14,0
     ac = 0,584
     as = 13,1
     ar = 19,4
     api = 135 d

com d = +1 para núcleos par-par (Z par e N par), d = 0 para núcleos par-ímpar (Z par e N ímpar ou Z ímpar e N par) e d = -1 para núcleos ímpar-ímpar (Z ímpar e N ímpar).
     O primeiro termo do lado direto da expressão dada corresponde ao termo de volume, proporcional ao número de núcleons A, e está associado ao fato de ser mais ou menos constante a energia de ligação por núcleon ou, o que dá no mesmo, ao fato de que cada núcleon interage apenas com um número limitado e fixo de outros núcleons.
     O segundo termo corresponde ao termo coulombiano, associado à repulsão eletrostática entre os prótons do núcleo, e aparece com o sinal negativo porque o efeito de repulsão tende a diminuir a energia de ligação.
     Como os prótons interagem aos pares, esse termo é proporcional ao número de pares de prótons do núcleo, Z ( Z - 1 ), e como a interação é tanto menor quanto maior a distância entre os prótons, esse termo é inversamente proporcional ao raio do núcleo, ou seja, inversamente proporcional a A^1/3.
     O terceiro termo corresponde ao termo de superfície e está associado ao número de núcleons da superfície do núcleo. Se os núcleons do interior do núcleo interagem com um dado número de outros núcleons, os núcleons da superfície interagem, em média, com a metade desse número.
     Como se considerou, no primeiro termo, que todos os núcleons interagem com igual número de outros núcleons, deve-se descontar um termo proporcional ao número de núcleons da superfície ou à área da superfície, ou seja, ao quadrado do raio, A^2/3.
     O quarto termo corresponde ao termo de simetria. Para um dado valor de A, existe um valor de Z que corresponde ao núcleo mais estável.
     Para núcleos pequenos, onde o efeito da repulsão coulombiana é pequeno, esse valor é Z = A / 2 ou 2Z = A. Assim, na ausência da repulsão coulombiana, valores de A diferentes de 2Z levam a menor estabilidade, ou seja, a um valor menor para a energia de ligação nuclear e esse efeito é representado, então, por ( A - 2Z )².
     O quadrado serve para garantir que tanto e excesso de nêutrons quanto o excesso de prótons levem a uma menor estabilidade.
     E como esse efeito deve ser cada vez menor com o aumento do tamanho do núcleo, ele deve ser inversamente proporcional ao número de núcleons, ou seja, inversamente proporcional a A
     Finalmente, o quinto e último termo, corresponde ao seguinte efeito. Dos núcleos estáveis, aqueles com número par de prótons ou com número par de nêutrons são os mais abundantes e, presumivelmente, os mais estáveis. Núcleos com número ímpar de prótons ou com número ímpar de nêutrons são os menos estáveis.

     Decaimento b

     A fórmula semi-empírica da energia de ligação nuclear permite, entre outras coisas, a discussão da estabilidade dos núcleos isóbaros e do decaimento b.
     Como primeiro exemplo, sejam os seguintes núcleos isóbaros com número de massa A = 73 (ímpar): zinco, gálio, germânio, arsênico e selênio, cujas energias de ligação (em MeV) aparecem na tabela a seguir. Nessa tabela aparecem, também, os correspondentes valores absolutos (em MeV) dos vários termos da fórmula semi-empírica da energia de ligação.

Elemento	⁷³Zn₃₀	⁷³Ga₃₁	⁷³Ge₃₂	⁷³As₃₃	⁷³Se₃₄
av A	1022,000	1022,000	1022,000	1022,000	1022,000
ac Z ( Z - 1 ) A^-1/3	121,579	129,964	138,628	147,572	156,795
as A^2/3	228,818	228,818	228,818	228,818	228,818
ar ( A - 2Z ) ² A^-1	44,912	32,156	21,526	13,022	6,644
api A^-1	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
E	626,691	631,062	633,028	632,588	629,743

O gráfico da energia de ligação em função de Z é uma parábola. O núcleo de germânio 73 é o mais estável porque tem a maior energia de ligação e aparece mais próximo do vértice da parábola.

Os isóbaros com número atômico menor que o número atômico do isóbaro mais estável (ramo esquerdo) decaem por emissão de um elétron (decaimento b^-):

⁷³Zn₃₀

⁷³Ga₃₁

⁷³Ge₃₂ (estável)

Em termos dos núcleons, o decaimento b^- é a transformação de um nêutron num próton, com a emissão de um elétron e um antineutrino:

n

p + e^- + n*

Analogamente, os isóbaros com número atômico maior que o número atômico do isóbaro mais estável (ramo direito) decaem por emissão de um pósitron (decaimento b⁺) ou por captura K ou por ambos:

⁷³Se₃₄

⁷³As₃₃

⁷³Ge₃₂ (estável)

Em termos dos núcleons, o decaimento b⁺ é a transformação de um próton num nêutron, com a emissão de um pósitron e um neutrino:

p

n + e⁺ + n

     A captura eletrônica é a captura, pelo núcleo atômico, de um elétron orbital. Se um elétron da camada K é capturado, o processo é chamado captura K. Elétrons de outras camadas podem ser capturados, mas com probabilidades menores.
     Em termos elementares, a captura eletrônica fica:

          p + e^-

n + n

Para isóbaros com número de massa A par, a discussão é um pouco diferente por causa do termo par-ímpar da fórmula semi-empírica da energia de igação. Esse termo é positivo para núcleos par-par e negativo para núcleos ímpar-ímpar, de modo que existem duas parábolas.
Como exemplo, sejam os seguintes núcleos isóbaros com A = 64 (par): cobalto,níquel, cobre, zinco e gálio, cujas energias de ligação (em MeV) aparecem na tabela a seguir. Nessa tabela aparecem, também, os correspondentes valores absolutos (em Mev) dos vários termos da fórmula semi-empírica da energia de ligação.

Elemento	⁶⁴Co₂₇	⁶⁴Ni₂₈	⁶⁴Cu₂₉	⁶⁴Zn₃₀	⁶⁴Ga₃₁
av A	896,000	896,000	896,000	896,000	896,000
ac Z ( Z - 1 ) A^-1/3	102,492	110,376	118,552	127,020	140,306
as A^2/3	209,600	209,600	209,600	209,600	209,600
ar ( A - 2Z ) ² A^-1	30,313	19,400	10,913	4,850	1,213
api A^-1	(-) 2,109	(+) 2,109	(-) 2,109	(+) 2,109	(-) 2,109
E	551,486	558,733	554,826	556,639	542,772

Os gráficos da energia de ligação em função de Z são duas parábolas. A parábola inferior corresponde aos núcleos ímpar-ímpar e a parábola superior, aos núcleos par-par.

     Portanto, os primeiros são instáveis em relação aos segundos.
     Pela curva correspondente aos núcleos par-par pode-se observar que existem dois isóbaros estáveis com números atômicos diferindo por duas unidades.
     Os núcleos com Z menor do que o Z do estado mais estável decaem por emissão de elétron (decaimento b^-) e os núcleos com Z maior que o Z de um dos núcleos mais estáveis decaem por emissão de pósitron (decaimento b⁺), captura K ou ambos.
     O isóbaro mais próximo do vértice da parábola ímpar-ímpar (o núcleo de cobre) pode decair por b^-, b⁺ ou captura K.

Física Nuclear